Berechne das Integral
\[ \int a^x \; dx \]
wobei \( a \) eine Konstante ist mit \( a \gt 0 \) und \( a \ne 1 \).
Wir ändern zuerst die Basis der Exponentialfunktion \( a^x \).
Sei \( y = a^x \) und ziehe den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten.
\[ \qquad \ln y = \ln (a^x) \]
Die Eigenschaft des Logarithmus \( \; \ln a^x = x \ln a \; \) wird verwendet, um das Obige zu schreiben als
\[ \qquad \ln y = x \ln a \]
Verwende die Beziehung zwischen Logarithmus und Exponentialfunktion, um das Obige zu schreiben als
\[ y = e^{x \ln a} \]
und da \( y = a^x \) ist, erhalten wir
\[ a^x = e^{x \ln a} \]
Unter Verwendung des Obigen kann das gegebene Integral geschrieben werden als
\[ \qquad \displaystyle \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} dx \qquad (1) \]
Wir berechnen nun das Integral auf der rechten Seite.
Sei \( u(x) = x \ln a \), woraus folgt \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \).
Per Definition ist das Differential \( du \) gegeben durch \( du = \dfrac{du}{dx} dx = \ln a \; dx \), also \( du = \ln a \; dx \).
Verwende die Substitution \( u(x) = x \; \ln a \) im rechten Integral in \( (1) \) und schreibe
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int e^{u} \; dx \]
Teile und multipliziere den Integranden auf der rechten Seite mit \( \ln a \).
\[ \qquad \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \ln a \; dx \]
Nutze die Tatsache, dass \( du = \ln a \; dx \) im Obigen ist und schreibe das Integral um als
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \int \dfrac{1}{\ln a}e^{u} \; du \]
Berechne das obige Integral mit der Integralformel \( \displaystyle \int e^x dx = e^x + c \), um zu erhalten
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]
wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Setze \( u \) wieder ein und schreibe
\[ \displaystyle \int e^{x \ln a} dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
und schließlich, unter Verwendung von \( \displaystyle \int a^x \; dx = \int e^{x \ln a} dx \) aus \( (1) \) oben, schreiben wir
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a}e^{x \ln a} + c \]
oder unter Verwendung der Tatsache, dass \( a^x = e^{x \ln a} \),
\[ \int a^x \; dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]