Herleitung und Auswertung
Berechnen Sie das unbestimmte Integral:
\[ \int a^x \, dx \]wobei \( a \) eine Konstante ist mit \( a > 0 \) und \( a \neq 1 \).
Wir ändern zunächst die Basis des Exponentialausdrucks \( a^x \):
Sei \( y = a^x \), und bilden Sie den natürlichen Logarithmus (\( \ln \)) auf beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]Unter Verwendung der Logarithmischeigenschaft \( \ln(a^x) = x \ln a \) schreiben wir dies um als:
\[ \ln y = x \ln a \]Die Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten liefert:
\[ y = e^{x \ln a} \]Da \( y = a^x \) gilt, erhalten wir die Identität:
Unter Verwendung dieser Identität kann das gegebene Integral umgeschrieben werden als:
\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]Wir berechnen nun das Integral auf der rechten Seite mithilfe der Substitution:
Sei \( u = x \ln a \), was \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \) ergibt. Per Definition [1] [2] [3] ist das Differential \( du = \ln a \, dx \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \).
Setzen Sie in das Integral (1) ein:
\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]Berechnen Sie das Standardintegral \( \int e^u \, du = e^u + c \):
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Setzen Sie \( u = x \ln a \) wieder ein:
\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]Schließlich erhalten wir mithilfe der Beziehung \( e^{x \ln a} = a^x \) die Standard-Integrationsformel:
Weitere Literaturhinweise und Links
- Tabelle der Integralformeln
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8